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प्रश्न
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
[संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]
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उत्तर
माना धनात्मक पूर्णांक = a और b = 3
यूक्लिड विभाजन प्रक्रिया से a = 3q + r, q ≥ 0 और r = 0, 1, 2, क्योंकि 0 ≥ r < 3।
अतः a = 3q या 3q + 1 या 3q + 2
⇒ `a^2 = 3q^2, 3q + 1^2, 3q + 2^2`
= `9q^2, 9q^2 + 6q + 1, 9q^2 + 12q + 4`
= `3(3q^2), 3(3q^2 + 2q) + 1, 3(3q^2 + 4q) + 4`
= `3(3q^2), 3(3q^2 + 2q) + 1, 3(3q^2 + 4q + 1) + 1`
= `3p_1, 3p_2 + 1, 3p_3 + 1`
जहाँ `p_1, p_2, p_3` और धनात्मक पूर्णांक है। इसलिए प्रत्येक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।
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