Advertisements
Advertisements
Question
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
[संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]
Advertisements
Solution
माना धनात्मक पूर्णांक = a और b = 3
यूक्लिड विभाजन प्रक्रिया से a = 3q + r, q ≥ 0 और r = 0, 1, 2, क्योंकि 0 ≥ r < 3।
अतः a = 3q या 3q + 1 या 3q + 2
⇒ `a^2 = 3q^2, 3q + 1^2, 3q + 2^2`
= `9q^2, 9q^2 + 6q + 1, 9q^2 + 12q + 4`
= `3(3q^2), 3(3q^2 + 2q) + 1, 3(3q^2 + 4q) + 4`
= `3(3q^2), 3(3q^2 + 2q) + 1, 3(3q^2 + 4q + 1) + 1`
= `3p_1, 3p_2 + 1, 3p_3 + 1`
जहाँ `p_1, p_2, p_3` और धनात्मक पूर्णांक है। इसलिए प्रत्येक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।
RELATED QUESTIONS
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
क्या प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णाक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
"तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य है।" क्या यह कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
दोनों ही संख्याएँ 525 और 3000 केवल 3, 5, 15, 25 और 75 से विभाज्य हैं। HCF (525, 3000) क्या है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए, 6m + 2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।
दर्शाइए कि 6q + r के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m + r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।
सिद्ध कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
सिद्ध कीजिए कि किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक पूर्णांक 3 से अवश्य ही विभाज्य होना चाहिए।
