Question

दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।

Answer 1

माना धनात्मक पूर्णांक = a और b = 6

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,

a = 6q + r, जहाँ q ≥ 0 और r = 0,1,2,3,4,5 क्योंकि 0 ≤ r6।

इसलिए, a = 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4, 6q + 5।

6q + 1 = 2 × 3q + 1 = 2p₁ + 1

जहाँ p₁ एक पूर्णांक है।

6q + 3 = (6q + 2) + 1 = 2(3q + 1) + 1 = 2p₂ + 1

जहाँ p₂ एक पूर्णांक है।

6q + 5 = (6q + 4) + 1 = 2(3q + 2) + 1 = 2p₃ + 1

जहाँ p₃ एक पूर्णांक है।

6q + 1, 6q + 3 और 6q + 5 सभी 2p + 1 के रूप में है, जहाँ p एक पूर्णांक है। इसलिए, 6q + 1, 6q + 3 और 6q + 5 सभी 2 से विभाजित नहीं होंगे। इस प्रकार हम कह सकते हैं, ये सभी विषम पूर्णांक है और इसलिए कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है।