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Question
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
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Solution
माना धनात्मक पूर्णांक = a और b = 6
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
a = 6q + r, जहाँ q ≥ 0 और r = 0,1,2,3,4,5 क्योंकि 0 ≤ r6।
इसलिए, a = 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4, 6q + 5।
6q + 1 = 2 × 3q + 1 = 2p1 + 1
जहाँ p1 एक पूर्णांक है।
6q + 3 = (6q + 2) + 1 = 2(3q + 1) + 1 = 2p2 + 1
जहाँ p2 एक पूर्णांक है।
6q + 5 = (6q + 4) + 1 = 2(3q + 2) + 1 = 2p3 + 1
जहाँ p3 एक पूर्णांक है।
6q + 1, 6q + 3 और 6q + 5 सभी 2p + 1 के रूप में है, जहाँ p एक पूर्णांक है। इसलिए, 6q + 1, 6q + 3 और 6q + 5 सभी 2 से विभाजित नहीं होंगे। इस प्रकार हम कह सकते हैं, ये सभी विषम पूर्णांक है और इसलिए कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है।
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