Question

दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए, 6m + 2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।

Answer 1

मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।

फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, सकारात्मक पूर्णांक a और 6 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक q और r मौजूद हैं जैसे कि

a = 6q + r, जहां 0 ≤ r < 6

`\implies` a² = (6q + r)² = 36 q² + r² + 12qr .......[∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]

`\implies` a² = 6(6q² + 2qr) + r² … (i)

जहाँ, 0 ≤ r < 6

केस I: जब r = 0,

फिर समीकरण (i) में r = 0 रखने पर, हमें मिलता है।

a² = 6(6q²)

= 6m

जहाँ, m = 6q² एक पूर्णांक है।

केस II: जब r = 1,

फिर समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है।

a² = 6(6q² + 2q) + 1

= 6m + 1

जहाँ, m = (6q² + 2q) एक पूर्णांक है।

केस III: जब r = 2,

फिर समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है।

a² = 6(6q² + 4q) + 4

= 6m + 4

जहाँ, m = (6q² + 4q) एक पूर्णांक है।

केस IV: जब r = 3,

फिर समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है।

a² = 6(6q² + 6q) + 9

= 6(6q² + 6q) + 6 + 3

`\implies` a² = 6(6q² + 6q + 1) + 3

= 6m + 3

जहाँ, m = (6q² + 6q + 1) एक पूर्णांक है।

केस V: जब r = 4,

फिर समीकरण (i) में r = 4 रखने पर, हमें मिलता है।

a² = 6(6q² + 8q) + 16

= 6(6q² + 8q) + 12 + 4

`\implies` a² = 6(6q² + 8q + 2) + 4

= 6m + 4

जहाँ, m = (6q² + 8q + 2) एक पूर्णांक है।

केस VI: जब r = 5,

फिर समीकरण (i) में r = 5 रखने पर, हमें मिलता है।

a² = 6(6q² + 10q) + 25

= 6(6q² + 10q) + 24 + 1

`\implies` a² = 6(6q² + 10q + 4) + 1

= 6m + 1
जहाँ, m = (6q² + 10q + 4) एक पूर्णांक है।

इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी भी पूर्णांक m के लिए 6m + 2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।