Advertisements
Advertisements
Question
सिद्ध कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
Advertisements
Solution
n को 3 से विभाजित करने पर, मान लीजिए q भागफल है और r शेषफल है।
फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा,
n = 3q + r, जहां 0 ≤ r < 3
`\implies` n = 3q + r, जहां r = 0, 1, 2
`\implies` n = 3q या n = 3q + 1 या n = 3q + 2
केस I: यदि n = 3q जो 3 से विभाज्य है।
लेकिन n + 2 और n + 4, 3 से विभाज्य नहीं हैं।
तो, इस मामले में, केवल n को 3 से विभाजित किया गया है।
केस II: यदि n = 3q + 1,
फिर (n + 2) = 3q + 3 = 3(q + 1),
जो 3 से विभाज्य है लेकिन n और n + 4 3 से विभाज्य नहीं है।
तो, इस मामले में, केवल (n + 2) 3 से विभाज्य है।
केस III: यदि n = 3q + 2,
फिर (n + 4) = 3q + 6 = 3(q + 2),
जो 3 से विभाज्य है लेकिन n और (n + 2) 3 से विभाज्य नहीं हैं।
तो, इस मामले में, केवल (n + 4) 3 से विभाज्य है।
अतः n, (n + 2) और (n + 4) में से केवल एक ही 3 से विभाज्य है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
135 और 225
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
867 और 255
“दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य है। " क्या यह कथन सत्य है या असत्य? कारण दीजिए।
लिखिए कि क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
दोनों ही संख्याएँ 525 और 3000 केवल 3, 5, 15, 25 और 75 से विभाज्य हैं। HCF (525, 3000) क्या है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए, 6m + 2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।
यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि n2 − 1, 8 से विभाज्य है।
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 1251, 9377 और 15628 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 1, 2 और 3 प्राप्त हो।
सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए संख्या n3 − n, 6 से विभाज्य है।
दर्शाइए कि n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से एक और केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
[संकेत : किसी भी धनात्मक पूर्णांक को 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।]
