Advertisements
Advertisements
Question
सिद्ध कीजिए कि किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक पूर्णांक 3 से अवश्य ही विभाज्य होना चाहिए।
Advertisements
Solution
माना तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक n, n + 1 और n + 2 हैं।
n को 3 से विभाजित करने पर, मान लीजिए कि q भागफल है और r शेषफल है।
फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा,
n = 3q + r, जहां 0 ≤ r < 3
`\implies` n = 3q या n = 3q + 1 या n = 3q + 2
केस I: यदि n = 3q, जो 3 से विभाज्य है।
लेकिन (n + 1) और (n + 2) 3 से विभाज्य नहीं हैं।
तो, इस मामले में, केवल n 3 से विभाज्य है।
केस II: यदि n = 3q + 1,
तब n + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1) जो 3 से विभाज्य है।
लेकिन n और (n + 1) 3 से विभाज्य नहीं हैं।
तो, इस मामले में, केवल (n + 2) 3 से विभाज्य है।
केस III: यदि n – 3q + 2,
तब n + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) जो 3 से विभाज्य है।
लेकिन n और (n + 2) 3 से विभाज्य नहीं हैं।
तो, इस मामले में, केवल (n + 1) 3 से विभाज्य है।
इसलिए, किन्हीं तीन लगातार धनात्मक पूर्णांकों में से एक को 3 से विभाज्य होना चाहिए।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
[संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]
क्या प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णाक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
लिखिए कि क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
एक धनात्मक पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ q एक प्राकृत संख्या है। क्या इसके वर्ग को 3m + 1 से भिन्न रूप में, अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, या तो 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।
441, 567 और 693 का HCF ज्ञात करने के लिए, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 1251, 9377 और 15628 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 1, 2 और 3 प्राप्त हो।
सिद्ध कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
