Question

सिद्ध कीजिए कि किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक पूर्णांक 3 से अवश्य ही विभाज्य होना चाहिए।

Answer 1

माना तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक n, n + 1 और n + 2 हैं।

n को 3 से विभाजित करने पर, मान लीजिए कि q भागफल है और r शेषफल है।

फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा,

n = 3q + r, जहां 0 ≤ r < 3

`\implies` n = 3q या n = 3q + 1 या n = 3q + 2

केस I: यदि n = 3q, जो 3 से विभाज्य है।

लेकिन (n + 1) और (n + 2) 3 से विभाज्य नहीं हैं।

तो, इस मामले में, केवल n 3 से विभाज्य है।

केस II: यदि n = 3q + 1,

तब n + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1) जो 3 से विभाज्य है।

लेकिन n और (n + 1) 3 से विभाज्य नहीं हैं।

तो, इस मामले में, केवल (n + 2) 3 से विभाज्य है।

केस III: यदि n – 3q + 2,

तब n + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) जो 3 से विभाज्य है।

लेकिन n और (n + 2) 3 से विभाज्य नहीं हैं।

तो, इस मामले में, केवल (n + 1) 3 से विभाज्य है।

इसलिए, किन्हीं तीन लगातार धनात्मक पूर्णांकों में से एक को 3 से विभाज्य होना चाहिए।