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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक पूर्णांक 3 से अवश्य ही विभाज्य होना चाहिए।
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उत्तर
माना तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक n, n + 1 और n + 2 हैं।
n को 3 से विभाजित करने पर, मान लीजिए कि q भागफल है और r शेषफल है।
फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा,
n = 3q + r, जहां 0 ≤ r < 3
`\implies` n = 3q या n = 3q + 1 या n = 3q + 2
केस I: यदि n = 3q, जो 3 से विभाज्य है।
लेकिन (n + 1) और (n + 2) 3 से विभाज्य नहीं हैं।
तो, इस मामले में, केवल n 3 से विभाज्य है।
केस II: यदि n = 3q + 1,
तब n + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1) जो 3 से विभाज्य है।
लेकिन n और (n + 1) 3 से विभाज्य नहीं हैं।
तो, इस मामले में, केवल (n + 2) 3 से विभाज्य है।
केस III: यदि n – 3q + 2,
तब n + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) जो 3 से विभाज्य है।
लेकिन n और (n + 2) 3 से विभाज्य नहीं हैं।
तो, इस मामले में, केवल (n + 1) 3 से विभाज्य है।
इसलिए, किन्हीं तीन लगातार धनात्मक पूर्णांकों में से एक को 3 से विभाज्य होना चाहिए।
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