Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, या तो 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।
फिर यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, सकारात्मक पूर्णांक a और 4 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक m और r मौजूद हैं, जैसे कि
a = 4m + r, जहां 0 ≤ r < 4
`\implies` a2 = 16m2 + r2 + 8mr
जहाँ, 0 ≤ r < 4 ......(i) [∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
केस I: जब r = 0,
तो समीकरण (i) में r = 0 डालने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2
= 4(4m2)
= 4q
जहाँ, q = 4m2 एक पूर्णांक है।
केस II: जब r = 1,
तो समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2 + 1 + 8m
= 4(4m2 + 2 इंच) + 1
= 4q + 1
जहाँ, q = (4m2 + 2m) एक पूर्णांक है।
केस III: जब r = 2,
तो समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2 + 4 + 16m
= 4(4m2 + 4m + 1)
= 4q
जहाँ, q = (4m2 + 4m + 1) एक पूर्णांक है।
केस IV: जब r = 3,
तो समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2 + 9 + 24m
= 16m2 + 24m + 8 + 1
= 4(4m2 + 6m + 2) + 1
= 4q + 1
जहाँ, q = (4m2 + 6m + 2) एक पूर्णांक है।
इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक q के लिए 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
क्या प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णाक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
"तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य है।" क्या यह कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
लिखिए कि क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
एक धनात्मक पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ q एक प्राकृत संख्या है। क्या इसके वर्ग को 3m + 1 से भिन्न रूप में, अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
सिद्ध कीजिए कि यदि x और y दोनों धनात्मक विषम पूर्णांक हैं, तो x2 + y2 एक सम संख्या है परंतु 4 से विभाज्य नहीं है।
441, 567 और 693 का HCF ज्ञात करने के लिए, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
सिद्ध कीजिए कि किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक पूर्णांक 3 से अवश्य ही विभाज्य होना चाहिए।
दर्शाइए कि n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से एक और केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
[संकेत : किसी भी धनात्मक पूर्णांक को 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।]
