Advertisements
Advertisements
प्रश्न
“दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य है। " क्या यह कथन सत्य है या असत्य? कारण दीजिए।
विकल्प
सत्य
असत्य
Advertisements
उत्तर
यह कथन सत्य है।
स्पष्टीकरण:
माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = a, a + 1
हमारे पास है,
a = bq + r
जहाँ 0 ≤ r < b
b = 2 के लिए, हमारे पास a = 2q + r है।
जहाँ 0 ≤ r < 2 ......(i)
समीकरण (i) में r = 0 प्रतिस्थापित करने पर,
हमें मिलता है,
a = 2q, 2 से विभाज्य है।
a + 1 = 2q + 1, 2 से विभाज्य नहीं है।
समीकरण (i) में r = 1 प्रतिस्थापित करने पर,
हमें मिलता है,
a = 2q + 1, 2 से विभाज्य नहीं है।
a + 1 = 2q + 1 + 1 = 2q + 2, 2 से विभाज्य है।
इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, 0 ≤ r < 2 के लिए
प्रत्येक दो क्रमागत पूर्णांकों में से एक 2 से विभाज्य है।
अतः दो लगातार धनात्मक संख्याओं का गुणनफल भी सम होगा।
अतः कथन "दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य है" सत्य है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
135 और 225
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
196 और 38220
क्या प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णाक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
लिखिए कि क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
एक धनात्मक पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ q एक प्राकृत संख्या है। क्या इसके वर्ग को 3m + 1 से भिन्न रूप में, अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
441, 567 और 693 का HCF ज्ञात करने के लिए, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 1251, 9377 और 15628 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 1, 2 और 3 प्राप्त हो।
दर्शाइए कि 6q + r के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m + r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।
सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए संख्या n3 − n, 6 से विभाज्य है।
दर्शाइए कि n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से एक और केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
[संकेत : किसी भी धनात्मक पूर्णांक को 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।]
