Question

दर्शाइए कि किसी पूर्णांक q के लिए, किसी विषम पूर्णांक का वर्ग 4q+1 के रूप का होता है।

Answer 1

यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, हमारे पास a = bm + r है, जहां 0 ≤ r < b … (i)

समीकरण (i) में b = 4 रखने पर, हमें मिलता है।

a = 4m + r, जहाँ 0 ≤ r < 4, यानी, r = 0, 1, 2, 3

यदि r = 0 `\implies` a = 4m, 4m, 2 से विभाज्य है `\implies` 4m सम है।

यदि r = 1 `\implies` a = 4m + 1, (4m + 1) 2 से विभाज्य नहीं है।

यदि r = 2 `\implies` a = 4m + 2 = 2(2m + 1), 2(2 m + 1) 2 से विभाज्य है `\implies` 2(2m + 1) सम है।

यदि r = 3 `\implies` a = 4m + 3, (4m + 3) 2 से विभाज्य नहीं है।

तो, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक m के लिए, (4m + 1) और (4m + 3) विषम पूर्णांक हैं।

अब, a² = (4m + 1)² = 16m² + 1 + 8m ...[∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]

= 4(4m² + 2m) + 1

= 4q + 1

यह एक वर्ग है जो 4q + 1 के रूप का है, जहाँ q = (4m² + 2m) एक पूर्णांक है।

और a² = (4m + 3)² = 16m² + 9 + 24m ...[∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]

= 4(4m² + 6m + 2) + 1

= 4q + 1

यह एक वर्ग है जो 4q + 1 के रूप का है, जहाँ q = (4m² + 6m + 2) एक पूर्णांक है।

अतः किसी पूर्णांक q के लिए, किसी विषम पूर्णांक का वर्ग 4q + 1 के रूप का होता है।