Question

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।

Answer 1

माना, धनात्मक पूर्णांक = a और b = 3

यूक्लिड विभाजन प्रक्रिया से a = 3q + r, q ≥ 0 और 0 ≥ r < 3।

a = 3q या 3q + 1 या 3q + 2।

जब a = 3q,

a³ = 3q³ = 93q³ = 9m, जहाँ m एक पूर्णांक है और m = 3q³।

⇒ `a^3 = 3q + 1^3`

⇒ `a^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1`

⇒ `a^3 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1`

⇒ `a^3 = 9m + 1`

जहाँ m एक पूर्णांक है, m = `(3q^3 + 3q^2 + q)।`

जब a = 3q + 2, तब

⇒ `a^3 = 3q + 2^3`

⇒ `a^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8`

⇒ `a^3 = 9(3q^3 + 6q^4 + q) + 8`

⇒ `a^3 = 9m + 8`

जहाँ m एक पूर्णांक है, m = `(3q^3 + 6q^2 + 4q)।`

किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m या 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होता है।