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प्रश्न
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
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उत्तर
माना, धनात्मक पूर्णांक = a और b = 3
यूक्लिड विभाजन प्रक्रिया से a = 3q + r, q ≥ 0 और 0 ≥ r < 3।
a = 3q या 3q + 1 या 3q + 2।
जब a = 3q,
a3 = 3q3 = 93q3 = 9m, जहाँ m एक पूर्णांक है और m = 3q3।
⇒ `a^3 = 3q + 1^3`
⇒ `a^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1`
⇒ `a^3 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1`
⇒ `a^3 = 9m + 1`
जहाँ m एक पूर्णांक है, m = `(3q^3 + 3q^2 + q)।`
जब a = 3q + 2, तब
⇒ `a^3 = 3q + 2^3`
⇒ `a^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8`
⇒ `a^3 = 9(3q^3 + 6q^4 + q) + 8`
⇒ `a^3 = 9m + 8`
जहाँ m एक पूर्णांक है, m = `(3q^3 + 6q^2 + 4q)।`
किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m या 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होता है।
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