Question

लिखिए कि क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

Answer 1

नहीं, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप में नहीं लिखा जा सकता जहाँ m एक प्राकृतिक संख्या है।

औचित्य:

यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,

एक धनात्मक पूर्णांक 'a' को bq + r के रूप में लिखा जा सकता है।

a = bq + r, जहां b, q और r कोई पूर्णांक हैं,

b = 3 के लिए

a = 3(q) + r, जहां, r एक पूर्णांक हो सकता है,

r = 0, 1, 2, 3 के लिए…….

3q + 0, 3q + 1, 3q + 2, 3q + 3……. धनात्मक पूर्णांक हैं,

(3q)² = 9q²

= 3(3q²)

= 3m ......(जहाँ 3q² = m)

(3q + 1)² = (3q + 1)²

= 9q² + 1 + 6q

= 3(3q² + 2q) + 1

= 3m + 1 .......(जहाँ, m = 3q² + 2q)

(3q + 2)² = (3q + 2)²

= 9q² + 4 + 12q

= 3(3q² + 4q) + 4

= 3m + 4 .......(जहाँ, m = 3q² + 2q)

(3q + 3)² = (3q + 3)²

= 9q² + 9 + 18q

= 3(3q² + 6q) + 9

= 3m + 9 ......(जहाँ, m = 3q² + 2q)

अतः ऐसा कोई धनात्मक पूर्णांक नहीं है जिसका वर्ग 3m + 2 के रूप में लिखा जा सके जहाँ m एक प्राकृतिक संख्या है।