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Question
दर्शाइए कि n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से एक और केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
[संकेत : किसी भी धनात्मक पूर्णांक को 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।]
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Solution
n को 5 से विभाजित करने पर, मान लीजिए कि q भागफल है और r शेषफल है।
तब n = 5q + r, जहां 0 ≤ r < 5
`\implies` n = 5q + r, जहां r = 0, 1, 2, 3, 4
`\implies` n = 5q या 5q + 1 या 5q + 2 या 5q + 3 या 5q + 4
केस I: यदि n = 5q,
तब केवल n 5 से विभाज्य है।
केस II: यदि n = 5q + 1,
तब n + 4 = 5q + 1 + 4 = 5q + 5 = 5(q + 1) जो 5 से विभाज्य है।
तो, इस मामले में, केवल (n + 4) 5 से विभाज्य है।
केस III: यदि n = 5q + 2,
तब n + 8 = 5q + 10 = 5(q + 2) जो 5 से विभाज्य है।
तो, इस मामले में, केवल (n + 8) 5 से विभाज्य है।
केस IV: यदि n = 5q + 3,
तब n + 12 = 5q + 3 + 12 = 5q + 15 = 5(q + 3) जो 5 से विभाज्य है।
तो, इस मामले में, केवल (n + 12) 5 से विभाज्य है।
केस V: यदि n = 5q + 4,
तब n + 16 = 5q + 4 + 16 = 5q + 20 = 5(q + 4) जो कि 5 से विभाज्य है।
तो, इस मामले में, केवल (n + 16) 5 से विभाज्य है।
इसलिए n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहां n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
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