Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दर्शाइए कि n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से एक और केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
[संकेत : किसी भी धनात्मक पूर्णांक को 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।]
Advertisements
उत्तर
n को 5 से विभाजित करने पर, मान लीजिए कि q भागफल है और r शेषफल है।
तब n = 5q + r, जहां 0 ≤ r < 5
`\implies` n = 5q + r, जहां r = 0, 1, 2, 3, 4
`\implies` n = 5q या 5q + 1 या 5q + 2 या 5q + 3 या 5q + 4
केस I: यदि n = 5q,
तब केवल n 5 से विभाज्य है।
केस II: यदि n = 5q + 1,
तब n + 4 = 5q + 1 + 4 = 5q + 5 = 5(q + 1) जो 5 से विभाज्य है।
तो, इस मामले में, केवल (n + 4) 5 से विभाज्य है।
केस III: यदि n = 5q + 2,
तब n + 8 = 5q + 10 = 5(q + 2) जो 5 से विभाज्य है।
तो, इस मामले में, केवल (n + 8) 5 से विभाज्य है।
केस IV: यदि n = 5q + 3,
तब n + 12 = 5q + 3 + 12 = 5q + 15 = 5(q + 3) जो 5 से विभाज्य है।
तो, इस मामले में, केवल (n + 12) 5 से विभाज्य है।
केस V: यदि n = 5q + 4,
तब n + 16 = 5q + 4 + 16 = 5q + 20 = 5(q + 4) जो कि 5 से विभाज्य है।
तो, इस मामले में, केवल (n + 16) 5 से विभाज्य है।
इसलिए n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहां n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
क्या प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णाक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
लिखिए कि क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
एक धनात्मक पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ q एक प्राकृत संख्या है। क्या इसके वर्ग को 3m + 1 से भिन्न रूप में, अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
दोनों ही संख्याएँ 525 और 3000 केवल 3, 5, 15, 25 और 75 से विभाज्य हैं। HCF (525, 3000) क्या है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, या तो 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, 5q + 2 या 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए, 6m + 2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।
दर्शाइए कि 6q + r के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m + r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।
