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प्रश्न
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 1251, 9377 और 15628 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 1, 2 और 3 प्राप्त हो।
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उत्तर
चूंकि, 1, 2 और 3 क्रमशः 1251, 9377 और 15628 के अवशेष हैं।
इस प्रकार, इन अवशेषों को संख्याओं से घटाने के बाद।
हमारे पास नंबर 1251 – 1 = 1250, 9377 – 2 = 9375 और 15628 – 3 = 15625 हैं जो आवश्यक संख्या से विभाज्य हैं।
अब, आवश्यक संख्या = HCF (1250, 9375, 15625)
यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिथ्म द्वारा,
a = bq + r .......(i) [∵ लाभांश = भाजक × भागफल + शेष]
चलो a = 15625 और b = 9375
15625 = 9375 × 1 + 6250 .......[समीकरण (i) से]
`\implies` 9375 = 6250 × 1 + 3125
`\implies` 6250 = 3125 × 2 + 0
∴ HCF(15625, 9375) = 3125
अब, हम c = 1250 और d = 3125 लेते हैं।
फिर फिर से Euclid के डिवीजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, d = cq + r
`\implies` 3125 = 1250 × 2 + 625
`\implies` 1250 = 625 × 2 + 0
∴ HCF(1250, 9375, 15625) = 625
इसलिए, 625 सबसे बड़ी संख्या है जो क्रमशः 1251, 9377 और 15628 को विभाजित करती है, क्रमशः 1, 2 और 3 को छोड़कर।
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संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
135 और 225
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
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"तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य है।" क्या यह कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
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दोनों ही संख्याएँ 525 और 3000 केवल 3, 5, 15, 25 और 75 से विभाज्य हैं। HCF (525, 3000) क्या है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
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दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए, 6m + 2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।
यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि n2 − 1, 8 से विभाज्य है।
