Question

दर्शाइए कि 6q + r के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m + r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।

Answer 1

मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।

फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, सकारात्मक पूर्णांक a और 6 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक q और r मौजूद हैं जैसे कि

a = 6q + r, जहां 0 ≤ r < 6

`\implies` a³ = (6q + r)³ = 216q³ + r³ + 3 . 6q . r(6q + r) .......[∵ (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)]

`\implies` a³ = (216q³ + 108q²r + 18qr²) + r³ .......(i)

जहाँ 0 < r < 6

केस I: जब r = 0,

फिर समीकरण (i) में r = 0 रखने पर, हमें मिलता है।

a³ = 216q³ 

= 6(36q³)

= 6m

जहाँ, m = 36q³ एक पूर्णांक है।

केस II: जब r = 1,

फिर समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है।

a³ = (216q³ + 108q² + 18q) + 1

= 6(36q³ + 18q² + 3q) + 1

`\implies` a³ = 6m + 1

जहाँ, m = (36q³ + 18q² + 3q) एक पूर्णांक है।

केस III: जब r = 2,

फिर समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है।

a³ = (216q³ + 216q² + 72q) + 8

a³ = (216q³ + 216q² + 72q + 6) + 2

`\implies` a³ = 6(36q³ + 36q² + 12q + 1) + 2

= 6m + 2

जहाँ, m = (36q³ + 36q² + 12q + 1) एक पूर्णांक है।

केस IV: जब r = 3,

फिर समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है।

a³ = (216q³ + 324q² + 162q) + 27

= (216q³ + 324q² + 162q + 24) + 3

= 6(36q³ + 54q² + 27q + 4) + 3

= 6m + 3

जहाँ, m = (36q³ + 54q² + 27q + 4) एक पूर्णांक है।

केस V: जब r = 4,

फिर समीकरण (i) में r = 4 रखने पर, हमें मिलता है।

a³ = (216q³ + 432q² + 288q) + 64

= 6(36q³ + 72q² + 48q) + 60 + 4

= 6(36q³ + 72q² + 48q + 10) + 4

= 6m + 4

जहाँ, m = (36q³ + 72q² + 48q + 10) एक पूर्णांक है।

केस VI: जब r = 5,

फिर समीकरण (i) में r = 5 रखने पर, हमें मिलता है।

a³ = (216q³ + 540q² + 450q) + 125

`\implies` a³ = (216q³ + 540q² + 450q) + 120 + 5

`\implies` a³ = 6(36q³ + 90q² + 75q + 20) + 5

`\implies` a³ = 6m + 5
जहाँ, m = (36q³ + 90q² + 75q + 20) एक पूर्णांक है।

इसलिए, 6q + r, q रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन एक पूर्णांक है और r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 भी 6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + के रूप का है। 3, 6m + 4 और 6m + 5 यानी, 6m + r.