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Question
यदि किन्ही दो वर्ग आव्यूहों के लिए AB = BA हो तो गणितीय आगम से सिद्ध कीजिए कि (AB)n = AnBn
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Solution
मान लीजिए P(n): (AB)n = AnBn
तो, P(1): (AB)1 = A1B1
⇒ AB = AB
तो, P(1) सत्य है।
मान लीजिए P(n) कुछ k ∈ N के लिए सत्य है।
तो, P(k): (AB)k = AkBk, k ∈ N .....(i)
अब (AB)k+1 = (AB)k(AB) ....((i) का प्रयोग करके)
= AkBk(AB)
= AkBk–1(BA)B
= AkBk–1(AB)B .....(जैसा दिया गया है AB = BA)
= AkBk–1AB2
= AkBk–2(BA)B2
= AkBk–2ABB2
= AkBk–2AB3
.......
.......
= Ak+1Bk+1
इस प्रकार P(1) सत्य है और जब भी P(k) सत्य है P(k + 1) सत्य है।
अत: P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
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