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Question
यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = BC है, C रेखाखंड AB का एक मध्य-बिंदु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।
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Solution
माना कि दो मध्य-बिंदु C और D हैं।
C, AB का मध्य-बिंदु है।
AC = CB
AC + AC = BC + AC ...(दोनों पक्षों में बराबर जोड़ दिए जाते हैं) ....(1)
यहाँ, (BC + AC) AB के साथ संपाती है। यह ज्ञात है कि जो चीजें एक दूसरे के साथ मेल खाती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।
∴ BC + AC = AB …(2)
यह भी ज्ञात है कि जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं। इसलिए, समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
AC + AC = AB
⇒ 2AC = AB …(3)
इसी प्रकार, D को AB का मध्य-बिंदु मानकर यह सिद्ध किया जा सकता है कि
2AD = AB …(4)
समीकरण (3) और (4) से, हम प्राप्त करते हैं
2AC = 2AD ...(जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।)
⇒ AC = AD ...(जो वस्तुएँ एक ही वस्तुओं की दोगुनी होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।)
यह तभी संभव है जब बिंदु C और D एक ही बिंदु का प्रतिनिधित्व कर रहे हों।
इसलिए, हमारी कल्पना गलत है और दिए गए रेखाखंड का केवल एक मध्य-बिंदु हो सकता है।
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