Question

यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = BC है, C रेखाखंड AB का एक मध्य-बिंदु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।

Answer 1

माना कि दो मध्य-बिंदु C और D हैं।

C, AB का मध्य-बिंदु है।

AC = CB

AC + AC = BC + AC             ...(दोनों पक्षों में बराबर जोड़ दिए जाते हैं)     ....(1)

यहाँ, (BC + AC) AB के साथ संपाती है। यह ज्ञात है कि जो चीजें एक दूसरे के साथ मेल खाती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।

∴ BC + AC = AB     …(2)

यह भी ज्ञात है कि जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं। इसलिए, समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

AC + AC = AB

⇒ 2AC = AB       …(3)

इसी प्रकार, D को AB का मध्य-बिंदु मानकर यह सिद्ध किया जा सकता है कि

2AD = AB        …(4)

समीकरण (3) और (4) से, हम प्राप्त करते हैं

2AC = 2AD            ...(जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।)

⇒ AC = AD           ...(जो वस्तुएँ एक ही वस्तुओं की दोगुनी होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।)

यह तभी संभव है जब बिंदु C और D एक ही बिंदु का प्रतिनिधित्व कर रहे हों।

इसलिए, हमारी कल्पना गलत है और दिए गए रेखाखंड का केवल एक मध्य-बिंदु हो सकता है।