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यदि an = 3 - 4n हो, तो दर्शाइए कि a1, a2, a3,... एक AP बनाते हैं। S20 भी ज्ञात कीजिए।

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Question

यदि an = 3 – 4n हो, तो दर्शाइए कि a1, a2, a3,... एक AP बनाते हैं। S20 भी ज्ञात कीजिए।  

Sum
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Solution

दिया गया है कि, श्रृंखला का n वाँ पद है।

an = 3 – 4n   ...(i)

n = 1 रखने पर,

a1 = 3 – 4(1)

= 3 – 4

= –1

n = 2 रखने पर,

a2 = 3 – 4(2)

= 3 – 8

= –5

n = 3 रखने पर,

a3 = 3 – 4(3)

= 3 – 12

= –9

n = 4 रखने पर,

a4 = 3 – 4(4)

= 3 – 16

= –13

तो, श्रृंखला –1, –5, –9, –13,... हो जाती है।

हम देखते है कि, 

a2 – a1

= –5 – (–1)

= –5 + 1

= –4

a3 – a2

= –9 – (–5)

= –9 + 5

= –4

a4 – a3

= –13 – (–9)

= –13 + 9

= –4

i.e., a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... = –4

चूँकि श्रृंखला के प्रत्येक क्रमिक पद का अंतर समान है।

तो, यह एक AP बनाता है।

हम जानते हैं कि, किसी AP के n पदों का योग,

Sn = `n/2[2a + (n - 1)d]`

∴ AP के 20 पदों का योग,

S20 = `20/2[2(-1) + (20 - 1)(-4)]`

= 10[–2 + (19)(–4)]

= 10(–2 – 76)

= 10 × (–78)

= –780

अतः, 20 पदों का आवश्यक योग अर्थात S20 – 780 है।

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A.P. के प्रथम N पदों का योग
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Chapter 5: समांतर श्रेढ़ी - प्रश्नावली 5.3 [Page 55]

APPEARS IN

NCERT Exemplar Ganit Exemplar [Hindi] Class 10
Chapter 5 समांतर श्रेढ़ी
प्रश्नावली 5.3 | Q 23. | Page 55

RELATED QUESTIONS

निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी का योग ज्ञात कीजिए:

0.6, 1.7, 2.8, ....,100 पदों तक


एक A.P. में, a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।


केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm,……. वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? (π = `22/7` लीजिए।)

[संकेत: क्रमशः केंद्रों A, B, A, B,... वाले अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ l1, l2, l3, l4 हैं।]


एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं (देखिए आकृति)। डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती हैं तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है। यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी `2 1/2` m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?

[संकेत: डंडों की संख्या = `250/25 + 1` है।]

 


AP: `- 4/3, -1, -2/3,..., 4 1/3` के दोनों मध्य पदों का योग ज्ञात कीजिए।


योग ज्ञात कीजिए :

`(a - b)/(a + b) + (3a - 2b)/(a + b) + (5a - 3b)/(a + b) + ...` 11 पदों तक


AP: −15, −13, −11,... का योग −55 बनाने के लिए इसके कितने पदों की आवश्यकता होगी? दो उत्तर प्राप्त होने का कारण स्पष्ट कीजिए।


कनिका को उसका जेब खर्च 1 जनवरी 2008 को दिया गया। वह इसमें से अपने पिग्गी बैंक में पहले दिन 1 रु डालती है, दूसरे दिन 2 रु डालती है, तीसरे दिन 3 रु डालती है तथा ऐसा ही महीने के अंत तक करती रहती है। उसने अपने जेब खर्च में से 204 रु खर्च भी किए और पाया कि महीने के अंत में उसके पास अभी भी 100 रु शेष हैं। उस महीने उसको कितना जेब खर्च मिला था ?


यासमीन पहले महीने में 32 रु की बचत करती है, दूसरे महीने में 36 रु की बचत करती है तथा तीसरे महीने में 40 रु की बचत करती है। यदि वह इसी प्रकार बचत करती रहे, तो कितने महीने में वह 2000 रु की बचत कर लेगी?


100 और 200 के बीच के उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए, जो 9 से विभाज्य नहीं हैं।

[संकेत (ii) : ये संख्याएँ होंगी : कुल संख्याएँ– 9 से विभाज्य संख्याएँ]


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