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यदि an = 3 - 4n हो, तो दर्शाइए कि a1, a2, a3,... एक AP बनाते हैं। S20 भी ज्ञात कीजिए।

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Question

यदि an = 3 – 4n हो, तो दर्शाइए कि a1, a2, a3,... एक AP बनाते हैं। S20 भी ज्ञात कीजिए।  

Sum
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Solution

दिया गया है कि, श्रृंखला का n वाँ पद है।

an = 3 – 4n   ...(i)

n = 1 रखने पर,

a1 = 3 – 4(1)

= 3 – 4

= –1

n = 2 रखने पर,

a2 = 3 – 4(2)

= 3 – 8

= –5

n = 3 रखने पर,

a3 = 3 – 4(3)

= 3 – 12

= –9

n = 4 रखने पर,

a4 = 3 – 4(4)

= 3 – 16

= –13

तो, श्रृंखला –1, –5, –9, –13,... हो जाती है।

हम देखते है कि, 

a2 – a1

= –5 – (–1)

= –5 + 1

= –4

a3 – a2

= –9 – (–5)

= –9 + 5

= –4

a4 – a3

= –13 – (–9)

= –13 + 9

= –4

i.e., a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... = –4

चूँकि श्रृंखला के प्रत्येक क्रमिक पद का अंतर समान है।

तो, यह एक AP बनाता है।

हम जानते हैं कि, किसी AP के n पदों का योग,

Sn = `n/2[2a + (n - 1)d]`

∴ AP के 20 पदों का योग,

S20 = `20/2[2(-1) + (20 - 1)(-4)]`

= 10[–2 + (19)(–4)]

= 10(–2 – 76)

= 10 × (–78)

= –780

अतः, 20 पदों का आवश्यक योग अर्थात S20 – 780 है।

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A.P. के प्रथम N पदों का योग
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Chapter 5: समांतर श्रेढ़ी - प्रश्नावली 5.3 [Page 55]

APPEARS IN

NCERT Exemplar Ganit Exemplar [Hindi] Class 10
Chapter 5 समांतर श्रेढ़ी
प्रश्नावली 5.3 | Q 23. | Page 55

RELATED QUESTIONS

नीचे दिए गए योगफल को ज्ञात कीजिए:

-5 + (-8) + (-11) + ... + (-230)


एक A.P. में, a3 = 15 और S10 = 125 दिया है। d और a10 ज्ञात कीजिए।


केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm,……. वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? (π = `22/7` लीजिए।)

[संकेत: क्रमशः केंद्रों A, B, A, B,... वाले अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ l1, l2, l3, l4 हैं।]


एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं (देखिए आकृति)। डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती हैं तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है। यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी `2 1/2` m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?

[संकेत: डंडों की संख्या = `250/25 + 1` है।]

 


योग ज्ञात कीजिए :

`4 - 1/"n" + 4 - 2/"n" + 4 - 3/"n" + ... + "n पदों तक"`


यासमीन पहले महीने में 32 रु की बचत करती है, दूसरे महीने में 36 रु की बचत करती है तथा तीसरे महीने में 40 रु की बचत करती है। यदि वह इसी प्रकार बचत करती रहे, तो कितने महीने में वह 2000 रु की बचत कर लेगी?


किसी AP के प्रथम पाँच पदों के योग और उसी AP के प्रथम सात पदों के योग का योग 167 है। यदि इस AP के प्रथम दस पदों का योग 235 है, तो इसके प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।


ज्ञात कीजिए :

1 से 500 तक के उन पूर्णांकों का योग जो 2 या 5 के गुणज हैं।

[संकेत (iii) : ये संख्याएँ होंगी : 2 के गुणज + 5 के गुणज – 2 और 5 दोनों के गुणज]


100 और 200 के बीच के उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए, जो

  1. 9 से विभाज्य हैं।
  2. 9 से विभाज्य नहीं हैं।

[संकेत (ii) : ये संख्याएँ होंगी : कुल संख्याएँ – 9 से विभाज्य संख्याएँ]


दर्शाइए कि उस AP का योग, जिसका प्रथम पद a, द्वितीय पद b और अंतिम पद c हो, `((a + c)(b + c - 2a))/(2(b - a))` के बराबर है।


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