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Question
यदि (a + b)n के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b तथा n ज्ञात कीजिए।
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Solution
हमें दिया है `(a + b)^n = a^n + ^nC_1 a^(n -1) b + ^nC_2 a^(n - 2) b^2 + ...`
an = 729 ..... (i)
`""^nC_1 a^(n -1) b = na ^(n -1) b = 7290` ......(ii)
`""^nC_2 a^(n - 2) b^2 = (n(n -1))/1.2 a^(n -2) b^2 = 30375`
समीकरण (ii) को (i) से भाग देने पर,
`(na^(n - 1) b)/a^n = 7290/729 = 10`
या `n b/a = 10` ....(iv)
समीकरण (iii) को (ii) से भाग देने पर,
`((n(n-1))/2 a^(n -2) b^2)/(na^(n -1) b) = 30375/7290`
`(n -1)/2 b/a = 6075/1458`
= `675/162 = 75/18 = 25/6` ....(v)
समीकरण (iv) को (v) से भाग देने पर,
`n xx 2/(n -1) = (10 xx 6)/25`
= `60/25 = 12/5`
या = `n/(n -1) = 6/5`
6n - 6 = 5n
या 6n - 5n = 6 या n = 6
n का मान समीकरण (iv) में रखने पर,
`6 b/a = 10`
या `b/a = 10/6 = 5/3`
समीकरण (i) से, an = 729
या `a^6 = 729 "अर्थात" a^6 = 3^6`
∴ a = 3
अब `b = 5/3 xx 3 = 5`
अतः a = 3, b = 5, तथा n = 6.
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