Question

यदि (a + b)ⁿ के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b तथा n ज्ञात कीजिए।

Answer 1

हमें दिया है  `(a + b)^n  = a^n  +  ^nC_1  a^(n -1)   b  +  ^nC_2  a^(n - 2)  b^2  +  ...` 

aⁿ  = 729  ..... (i)

`""^nC_1  a^(n -1)  b  = na ^(n -1)  b = 7290`    ......(ii)

`""^nC_2   a^(n - 2)  b^2  =  (n(n -1))/1.2  a^(n -2)   b^2 = 30375`

समीकरण (ii) को (i) से भाग देने पर,

`(na^(n - 1) b)/a^n  =  7290/729  = 10`

या `n  b/a  =  10` ....(iv)

समीकरण (iii) को (ii) से भाग देने पर,

`((n(n-1))/2  a^(n -2)  b^2)/(na^(n -1)  b) = 30375/7290`

`(n -1)/2  b/a  =  6075/1458`

= `675/162  =  75/18  =  25/6` ....(v)

समीकरण (iv) को (v) से भाग देने पर,

`n  xx  2/(n -1)  =  (10  xx 6)/25`

= `60/25  = 12/5`

या = `n/(n -1)  = 6/5`

6n - 6 =  5n

या 6n - 5n = 6 या  n = 6

n का मान  समीकरण (iv) में रखने पर,

`6  b/a  = 10`

या  `b/a  =  10/6  =  5/3`

समीकरण (i) से,  aⁿ  = 729

या  `a^6  =  729  "अर्थात"   a^6 = 3^6`

∴  a = 3

अब  `b  =  5/3  xx  3  = 5`

अतः a = 3, b = 5, तथा n = 6.