Question

यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि aⁿ – bⁿ का एक गुणनखंड (a – b) है, जबकि n एक धन पूर्णांक है।

[ संकेत: aⁿ = (a – b + b)ⁿ लिखकर प्रसार कीजिए।]

Answer 1

यह साबित करने के लिए कि (a – b) (aⁿ – bⁿ) का एक गुणनखंड है, यह साबित करना होगा कि aⁿ – bⁿ = k (a – b), जहां k कुछ प्राकृतिक संख्या है।

इसे लिखा जा सकता है कि, a = a – b + b

∴ aⁿ = (a - b + b)ⁿ = [(a - b) + b]ⁿ

= ⁿC₀ (a - b)ⁿ + ⁿC₁ (a - b)^{n - 1} b + ... + ⁿC_{n- 1} (a - b)b^{n - 1} + ⁿC_nbⁿ

= (a - b)ⁿ + ⁿC₁ (a - b)^{n - 1} + b + ... + ⁿC_{n - 1} (a - b) b^{n - 1}+ bⁿ

= aⁿ - bⁿ = (a - b)[(a - b)^{n - 1}+ⁿC₁(a - b)^{n - 2} b + ... + ⁿC_{n - 1} b^{n - 1}]

= aⁿ - bⁿ = k (a - b)

जहाँ, k = [(a - b)^{n - 1} + ⁿC₁(a - b)^{n - 2} b + ... + ⁿC_{n - 1}b^{n - 1}] एक प्राकृतिक संख्या है

इससे पता चलता है कि (a - b) (aⁿ - bⁿ) का एक गुणनखंड है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।