Question

सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

Answer 1

माना एक समकोण त्रिभुज BAC है जिसमें ∠A समकोण है और AC = y, AB = x है।

ΔABC की तीन भुजाओं पर तीन समबाहु त्रिभुज ΔAEC, ΔAFB और ΔCBD खींचे गए हैं।

पुनः माना कि AC, AS और BC पर बने त्रिभुजों का क्षेत्रफल क्रमशः A₁, A₂ और A₃ है।

साबित करने के लिए: A₃ = A₁ + A₂ 

प्रमाण: ΔCAB में,

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

BC² = AC² + AB²

⇒ BC² = y² + x²

⇒ BC = `sqrt(y^2 + x^2)`

हम जानते हैं कि, 

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = `sqrt(3)/4` (भुजा)²

∴ समबाहु ΔAEC का क्षेत्रफल,

A₁ = `sqrt(3)/4 ("AC")^2`

⇒ A₁ = `sqrt(3)/4 y^2`   ...(i)

और समबाहु ΔAFB का क्षेत्रफल,

A₂ = `sqrt(3)/4 ("AB")^2`

= `(sqrt(3)x^2)/4`   ...(ii)

और समबाहु ΔCBD का क्षेत्रफल,

A₃ = `sqrt(3)/4 ("CB")^2`

= `sqrt(3)/4 (y^2 + x^2)`

= `sqrt(3)/4 y^2 + sqrt(3)/4 x^2`

= A₁ + A₂   ...[समीकरण (i) और (ii) से]

⇒ A₃ = A₁ + A₂

अतः सिद्ध हुआ।