Advertisements
Advertisements
Question
सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
Advertisements
Solution
मान लीजिए ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण B समकोण है और AB = y, BC = x है।
भुजाओं AB, BC और AC पर क्रमशः व्यास AB, BC और AC के साथ तीन अर्धवृत्त खींचे गए हैं।
पुनः माना AB, BC और AC व्यास वाले वृत्तों का क्षेत्रफल क्रमशः A1, A2 और A3 है।
साबित करने के लिए: A3 = A1 + A2
प्रमाण: ΔABC में,
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = y2 + x2
⇒ AC = `sqrt(y^2 + x^2)`
हम जानते हैं कि,
त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
r = `(pir^2)/2`
∴ AC पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A3 = `pi/2(("AC")/2)^2`
= `pi/2(sqrt(y^2 + x^2)/2)^2`
⇒ A3 = `(pi(y^2 + x^2))/8` ...(i)
अब, AB पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A1 = `pi/2 (("AB")/2)^2`
⇒ A1 = `pi/2(y/2)^2`
⇒ A1 = `(piy^2)/8` ...(ii)
और BC पर बनाये गये अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A2 = `pi/2(("BC")/2)^2`
= `pi/2(x/2)^2`
⇒ A2 = `(pix^2)/8`
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
A1 + A2 = `(piy^2)/8 + (pix^2)/8`
= `(pi(y^2 + x^2))/8`
= A3 ...[समीकरण (i) से]
⇒ A1 + A2 = A3
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
7 cm, 24 cm, 25 cm
दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके पाद बिंदुओं के बीच की दूरी 12 m है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए: ∆ABC में, AB = `6sqrt3` cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm है। कोण B है: ______
आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि
(i) AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AC2 + AB2 = 2AD2 + `1/2` BC2
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिंदु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति)? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अंदर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाज़िमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
भुजा 8 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब ज्ञात कीजिए।
10 m लंबी एक सीढ़ी, जो एक उर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिकी हुई है, के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी 6 m है। दीवार पर उस बिंदु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जहाँ तक सीढ़ी का ऊपरी सिरा पहुँचता है।
शहर A से शहर B तक जाने के लिए एक मार्ग शहर C से होकर इस प्रकार जाता है कि AC ⊥ CB है, AC = 2x km और CB = 2(x + 7) km है। दोनों शहरों A और B को सीधा जोड़ने के लिए, एक 26 km लंबे राजमार्ग बनाने की एक योजना है। ज्ञात कीजिए कि राजमार्ग बन जाने के बाद, शहर A से शहर B तक जाने में कितनी दूरी कम चलनी पड़ेगी।
एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेद बिंदु O है। O से होकर एक रेखाखंड PQ भुजा AB के समांतर खींचा गया है, जो AD को P और BC को Q पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि PO = QO है।
सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
