Advertisements
Advertisements
Question
सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
Advertisements
Solution
मान लीजिए ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण B समकोण है और AB = y, BC = x है।
भुजाओं AB, BC और AC पर क्रमशः व्यास AB, BC और AC के साथ तीन अर्धवृत्त खींचे गए हैं।
पुनः माना AB, BC और AC व्यास वाले वृत्तों का क्षेत्रफल क्रमशः A1, A2 और A3 है।
साबित करने के लिए: A3 = A1 + A2
प्रमाण: ΔABC में,
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = y2 + x2
⇒ AC = `sqrt(y^2 + x^2)`
हम जानते हैं कि,
त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
r = `(pir^2)/2`
∴ AC पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A3 = `pi/2(("AC")/2)^2`
= `pi/2(sqrt(y^2 + x^2)/2)^2`
⇒ A3 = `(pi(y^2 + x^2))/8` ...(i)
अब, AB पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A1 = `pi/2 (("AB")/2)^2`
⇒ A1 = `pi/2(y/2)^2`
⇒ A1 = `(piy^2)/8` ...(ii)
और BC पर बनाये गये अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A2 = `pi/2(("BC")/2)^2`
= `pi/2(x/2)^2`
⇒ A2 = `(pix^2)/8`
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
A1 + A2 = `(piy^2)/8 + (pix^2)/8`
= `(pi(y^2 + x^2))/8`
= A3 ...[समीकरण (i) से]
⇒ A1 + A2 = A3
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
7 cm, 24 cm, 25 cm
आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
AD2 = BD.CD
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 km/hr की चाल से उड़ता है। `1 1/2` घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है।
किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है (देखिए आकृति) सिद्ध कीजिए कि 2AB2 = 2AC2 + BC2 है।
आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° हैं तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 – 2BC.BD है।
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिंदु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति)? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अंदर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाज़िमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
10 m लंबी एक सीढ़ी, जो एक उर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिकी हुई है, के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी 6 m है। दीवार पर उस बिंदु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जहाँ तक सीढ़ी का ऊपरी सिरा पहुँचता है।
शहर A से शहर B तक जाने के लिए एक मार्ग शहर C से होकर इस प्रकार जाता है कि AC ⊥ CB है, AC = 2x km और CB = 2(x + 7) km है। दोनों शहरों A और B को सीधा जोड़ने के लिए, एक 26 km लंबे राजमार्ग बनाने की एक योजना है। ज्ञात कीजिए कि राजमार्ग बन जाने के बाद, शहर A से शहर B तक जाने में कितनी दूरी कम चलनी पड़ेगी।
आकृति में, रेखाखंड DF त्रिभुज ABC की भुजा AC को बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि E, भुजा AC का मध्य-बिंदु है और ∠AEF = ∠AFE है। सिद्ध कीजिए कि `(BD)/(CD) = (BF)/(CE)` है।
