Question

सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

Answer 1

मान लीजिए ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण B समकोण है और AB = y, BC = x है।

भुजाओं AB, BC और AC पर क्रमशः व्यास AB, BC और AC के साथ तीन अर्धवृत्त खींचे गए हैं।

पुनः माना AB, BC और AC व्यास वाले वृत्तों का क्षेत्रफल क्रमशः A₁, A₂ और A₃ है।

साबित करने के लिए: A₃ = A₁ + A₂

प्रमाण: ΔABC में,

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

AC² = AB² + BC²

⇒ AC² = y² + x²

⇒ AC = `sqrt(y^2 + x^2)`

हम जानते हैं कि,

त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल, 

r = `(pir^2)/2`

∴ AC पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,

A₃ = `pi/2(("AC")/2)^2`

= `pi/2(sqrt(y^2 + x^2)/2)^2`

⇒ A₃ = `(pi(y^2 + x^2))/8`  ...(i)

अब, AB पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,

A₁ = `pi/2 (("AB")/2)^2`

⇒ A₁ = `pi/2(y/2)^2`

⇒ A₁ = `(piy^2)/8`  ...(ii)

और BC पर बनाये गये अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,

A₂ = `pi/2(("BC")/2)^2`

= `pi/2(x/2)^2`

⇒ A₂ = `(pix^2)/8`

समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।

A₁ + A₂ = `(piy^2)/8 + (pix^2)/8`

= `(pi(y^2 + x^2))/8`

= A₃   ...[समीकरण (i) से]

⇒ A₁ + A₂ = A₃

अतः सिद्ध हुआ।