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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
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उत्तर
मान लीजिए ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण B समकोण है और AB = y, BC = x है।
भुजाओं AB, BC और AC पर क्रमशः व्यास AB, BC और AC के साथ तीन अर्धवृत्त खींचे गए हैं।
पुनः माना AB, BC और AC व्यास वाले वृत्तों का क्षेत्रफल क्रमशः A1, A2 और A3 है।
साबित करने के लिए: A3 = A1 + A2
प्रमाण: ΔABC में,
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = y2 + x2
⇒ AC = `sqrt(y^2 + x^2)`
हम जानते हैं कि,
त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
r = `(pir^2)/2`
∴ AC पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A3 = `pi/2(("AC")/2)^2`
= `pi/2(sqrt(y^2 + x^2)/2)^2`
⇒ A3 = `(pi(y^2 + x^2))/8` ...(i)
अब, AB पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A1 = `pi/2 (("AB")/2)^2`
⇒ A1 = `pi/2(y/2)^2`
⇒ A1 = `(piy^2)/8` ...(ii)
और BC पर बनाये गये अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A2 = `pi/2(("BC")/2)^2`
= `pi/2(x/2)^2`
⇒ A2 = `(pix^2)/8`
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
A1 + A2 = `(piy^2)/8 + (pix^2)/8`
= `(pi(y^2 + x^2))/8`
= A3 ...[समीकरण (i) से]
⇒ A1 + A2 = A3
अतः सिद्ध हुआ।
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