Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण B समकोण है और AB = y, BC = x है।
भुजाओं AB, BC और AC पर क्रमशः व्यास AB, BC और AC के साथ तीन अर्धवृत्त खींचे गए हैं।
पुनः माना AB, BC और AC व्यास वाले वृत्तों का क्षेत्रफल क्रमशः A1, A2 और A3 है।
साबित करने के लिए: A3 = A1 + A2
प्रमाण: ΔABC में,
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = y2 + x2
⇒ AC = `sqrt(y^2 + x^2)`
हम जानते हैं कि,
त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
r = `(pir^2)/2`
∴ AC पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A3 = `pi/2(("AC")/2)^2`
= `pi/2(sqrt(y^2 + x^2)/2)^2`
⇒ A3 = `(pi(y^2 + x^2))/8` ...(i)
अब, AB पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A1 = `pi/2 (("AB")/2)^2`
⇒ A1 = `pi/2(y/2)^2`
⇒ A1 = `(piy^2)/8` ...(ii)
और BC पर बनाये गये अर्धवृत्त का क्षेत्रफल,
A2 = `pi/2(("BC")/2)^2`
= `pi/2(x/2)^2`
⇒ A2 = `(pix^2)/8`
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
A1 + A2 = `(piy^2)/8 + (pix^2)/8`
= `(pi(y^2 + x^2))/8`
= A3 ...[समीकरण (i) से]
⇒ A1 + A2 = A3
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
3 cm, 8 cm, 6 cm
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB2 = 2AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके पाद बिंदुओं के बीच की दूरी 12 m है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है।
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिंदु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति)? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अंदर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाज़िमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
5 m लंबी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे इस प्रकार टिकी हुई है कि उसका ऊपरी सिरा दीवार पर 4 m ऊँचे बिंदु तक पहुँचता है। यदि सीढ़ी के निचले सिरे को दीवार की ओर 1.6 m खिसकाया जाए, तो वह दूरी ज्ञात कीजिए जो सीढ़ी का ऊपरी सिरा ऊपर की ओर दीवार पर सरक जाएगा।
शहर A से शहर B तक जाने के लिए एक मार्ग शहर C से होकर इस प्रकार जाता है कि AC ⊥ CB है, AC = 2x km और CB = 2(x + 7) km है। दोनों शहरों A और B को सीधा जोड़ने के लिए, एक 26 km लंबे राजमार्ग बनाने की एक योजना है। ज्ञात कीजिए कि राजमार्ग बन जाने के बाद, शहर A से शहर B तक जाने में कितनी दूरी कम चलनी पड़ेगी।
18 m ऊँचे एक ध्वज स्तंभ की छाया की लंबाई 9.6 m है। इस स्तंभ के ऊपरी सिरे की छाया के दूरस्थ सिरे से दूरी ज्ञात कीजिए।
एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेद बिंदु O है। O से होकर एक रेखाखंड PQ भुजा AB के समांतर खींचा गया है, जो AD को P और BC को Q पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि PO = QO है।
