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प्रश्न
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है।
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उत्तर
दिया है: ABC एक त्रिभुज जिसका ∠C = 90°. इसकी भुजाओं CA एवं CB पर क्रमशः बिन्दु D और E स्थित हैं।
AE, BD एवं DE को मिलाया गया है।
चूँकि समकोण ∆ACE में, ∠ACE समकोण है
AE2 = AC2 + EC2 ….(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆BCD में, ∠BCD समकोण है
BD2 = BC2 + DC2 …(2) पाइथागोरस प्रमेय से]
AE2 + BD2 = AC2 + BC2 + EC2 + DC2 …(3)
[समीकरण (1) + (2) से]
समकोण ∆ACB में, ∠ACB समकोण है
AB2 = AC2 + BC2 …(4) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆DCE में, ∠DCE समकोण है
DE2 = DC2 + EC2 …(5)
AB2 + DE2 = AC2 + BC2 + EC2 + DC2 …(6) [समीकरण (4) + (5) से]
AE2 + BD2 = AB2 + DE2 [समीकरण (3) एवं (6) से]
इति सिद्धम्
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AB2 = BC.BD
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[संकेत : AB और DC को E पर मिलने के लिए बढ़ाइए]।
