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प्रश्न
एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेद बिंदु O है। O से होकर एक रेखाखंड PQ भुजा AB के समांतर खींचा गया है, जो AD को P और BC को Q पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि PO = QO है।
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उत्तर
दिया गया है ABCD एक समलंब है।
विकर्ण AC और BD O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
PQ || AB || DC
सिद्ध करना है: PO = QO
प्रमाण: ∆ABD और ∆POD में,
PO || AB ...[∵ PQ || AB]
∠D = ∠D ...[उभयनिष्ठ कोण]
∠ABD = ∠POD ...[संगत कोण]
∴ ∆ABD ~ ∆POD ...[AAA समानता मानदंड द्वारा]
फिर, `("OP")/("AB") = ("PD")/("AD")` ...(i)
∆ABC और ∆OQC में,
OQ || AB ...[∵ OQ || AB]
∠C = ∠C ...[उभयनिष्ठ कोण]
∠BAC = ∠QOC ...[संगत कोण]
∴ ∆ABC ~ ∆OQC ...[AAA समानता मानदंड द्वारा]
फिर, `("OQ")/("AB") = ("QC")/("BC")` ...(ii)
अब, In ∆ADC,
OP || DC
∴ `("AP")/("PD") = ("OA")/("OC")` [मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा] ...(iii)
∆ABC में,
OQ || AB
∴ `("BQ")/("QC") = ("OA")/("OC")` [मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा] ...(iv)
समीकरण (iii) और (iv) से, हम पाते हैं।
`("AP")/("PD") = ("BQ")/("QC")`
दोनों ओर 1 जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।
`("AP")/("PD") + 1 = ("BQ")/("QC") + 1`
⇒ `("AP" + "PD")/("PD") = ("BQ" + "QC")/("QC")`
⇒ `("AD")/("PD") = ("BC")/("QC")`
⇒ `("PD")/("AD") = ("QC")/("BC")`
⇒ `("OP")/("AB") = ("OQ")/("BC")` ...[समीकरण (i) और (ii) से]
⇒ `("OP")/("AB") = ("OQ")/("AB")` ...[समीकरण (ii) से]
⇒ OP = OQ
अतः सिद्ध हुआ।
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