Question

एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेद बिंदु O है। O से होकर एक रेखाखंड PQ भुजा AB के समांतर खींचा गया है, जो AD को P और BC को Q पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि PO = QO है।

Answer 1

दिया गया है ABCD एक समलंब है।

विकर्ण AC और BD O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

PQ || AB || DC

सिद्ध करना है: PO = QO

प्रमाण: ∆ABD और ∆POD में,

PO || AB ...[∵ PQ || AB]

∠D = ∠D   ...[उभयनिष्ठ कोण]

∠ABD = ∠POD  ...[संगत कोण]

∴ ∆ABD ~ ∆POD  ...[AAA समानता मानदंड द्वारा]

फिर, `("OP")/("AB") = ("PD")/("AD")`  ...(i)

∆ABC और ∆OQC में,

OQ || AB  ...[∵ OQ || AB]

∠C = ∠C  ...[उभयनिष्ठ कोण]

∠BAC = ∠QOC  ...[संगत कोण]

∴ ∆ABC ~ ∆OQC  ...[AAA समानता मानदंड द्वारा]

फिर, `("OQ")/("AB") = ("QC")/("BC")`  ...(ii)

अब, In ∆ADC,

OP || DC

∴ `("AP")/("PD") = ("OA")/("OC")` [मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा]  ...(iii)

∆ABC में,

OQ || AB

∴ `("BQ")/("QC") = ("OA")/("OC")` [मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा] ...(iv)

समीकरण (iii) और (iv) से, हम पाते हैं।

`("AP")/("PD") = ("BQ")/("QC")`

दोनों ओर 1 जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।

`("AP")/("PD") + 1 = ("BQ")/("QC") + 1`

⇒ `("AP" + "PD")/("PD") = ("BQ" + "QC")/("QC")`

⇒ `("AD")/("PD") = ("BC")/("QC")`

⇒ `("PD")/("AD") = ("QC")/("BC")`

⇒ `("OP")/("AB") = ("OQ")/("BC")`  ...[समीकरण (i) और (ii) से]

⇒ `("OP")/("AB") = ("OQ")/("AB")`  ...[समीकरण (ii) से]

⇒ OP = OQ

अतः सिद्ध हुआ।