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प्रश्न
आकृति में, रेखाखंड DF त्रिभुज ABC की भुजा AC को बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि E, भुजा AC का मध्य-बिंदु है और ∠AEF = ∠AFE है। सिद्ध कीजिए कि `(BD)/(CD) = (BF)/(CE)` है।
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उत्तर
दिया गया है ΔABC, E, CA का मध्य-बिंदु है और ∠AEF = ∠AFE है।
साबित करने के लिए: `("BD")/("CD") = ("BF")/("CE")`
रचना: AB पर एक बिंदु G इस प्रकार लीजिए कि CG || EF
प्रमाण: चूँकि, E, CA का मध्य-बिंदु है।
∴ CE = AE ...(i)
ΔACG में,
CG || EF और E, CA के मध्य-बिंदु हैं।
तो, CE = GF ...(ii) [मध्य बिंदु प्रमेय द्वारा]
अब, ΔBCG और ΔBDF में,
CG || EF
∴ `("BC")/("CD") = ("BG")/("GF")` ...[मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा]
⇒ `("BC")/("CD") = ("BF" - "GF")/("GF")`
⇒ `("BC")/("CD") = ("BF")/("GF") - 1`
⇒ `("BC")/("CD") + 1 = ("BF")/("CE")` ...[समीकरण (ii) से]
⇒ `("BC" + "CD")/("CD") = ("BF")/("CE")`
⇒ `("BD")/("CD") = ("BF")/("CE")`
अतः सिद्ध हुआ।
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