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प्रश्न
किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है (देखिए आकृति) सिद्ध कीजिए कि 2AB2 = 2AC2 + BC2 है।
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उत्तर
दिया है: ∆ABC के शीर्ष से शीर्ष लम्ब AD ⊥ BC खींचा गया है जो BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3 CD
DB = `3/4` BC
तथा CD = `1/4` BC ….(1)
समकोण ∆ADB में ∠ADB समकोण है
AB2 = AD2 + BD2 …(2) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆ADC में, ∆ADC समकोण है
AC2 = AD2 + CD2 …(3) [पाइथागोरस प्रमेय]
AB2 – AC2 = BD2 – CD2 [समीकरण (2) – (3) से]
AB2 – AC2 = (BD + CD) (BD – CD)
= BC`[3/4"BC" − 1/4"BC"]` [समीकरण (1) से]
AB2 – AC2 = `"BC" xx 1/2 "BC" = 1/2 "BC"^2`
2AB2 – 2AC2 = BC2
2AB2 = 2AC2 + BC2
इति सिद्धम्
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