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प्रश्न
किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि BD = `1/3` BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD2 = 7AB2 है।
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उत्तर
दिया है: ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = `1/3` BC
यहाँ AB = BC = CA ….(1)
एवं BD = `1/3` BC …(2)
रचना: A से AE ⊥ BC खींचिए।
चूँकि BE = EC = `1/2` BC = `1/2` AB …(3) [∵ BC = AB]
[∵ समबाहु त्रिभुज का शीर्ष लम्ब आधार को समाद्विभाजित करता है।]
⇒ DE = BE – BD = `"BC"/2 − "BC"/3` [समीकरण (3) एवं (2) से]
DE = `(3"BC" − 2"BC")/6 = "BC"/6 = "AB"/6` …..(4) [∵ BC = AB]
∵ समकोण ∆AEB में, ∠AEB समकोण है।
⇒ AE2 = AB2 – BE2 ….(5)
∵ समकोण ∆AED में, ∠AED समकोण है
⇒ AE2 = AD2 – DE2 …(6)
⇒ AB2 – BE2 = AD2 – DE2 …..(7) [समीकरण (5) एवं (6) से]
⇒ `"AB"^2 - ("AB"/2)^2 = "AD"^2 - ("AB"/6)^2`
⇒ `"AB"^2 - "AB"^2/4 = "AD"^2 - "AB"^2/36` [समीकरण (3), (4) एवं (7) से]
⇒ 36AB2 – 9AB2 = 36AD2 – AB2
⇒ 36AD2 = 36AB2 + AB2 – 9AB2 = 28AB2
⇒ 9AD2 = 7AB2
इति सिद्धम्
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