Advertisements
Advertisements
प्रश्न
किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि BD = `1/3` BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD2 = 7AB2 है।
Advertisements
उत्तर
दिया है: ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = `1/3` BC
यहाँ AB = BC = CA ….(1)
एवं BD = `1/3` BC …(2)
रचना: A से AE ⊥ BC खींचिए।
चूँकि BE = EC = `1/2` BC = `1/2` AB …(3) [∵ BC = AB]
[∵ समबाहु त्रिभुज का शीर्ष लम्ब आधार को समाद्विभाजित करता है।]
⇒ DE = BE – BD = `"BC"/2 − "BC"/3` [समीकरण (3) एवं (2) से]
DE = `(3"BC" − 2"BC")/6 = "BC"/6 = "AB"/6` …..(4) [∵ BC = AB]
∵ समकोण ∆AEB में, ∠AEB समकोण है।
⇒ AE2 = AB2 – BE2 ….(5)
∵ समकोण ∆AED में, ∠AED समकोण है
⇒ AE2 = AD2 – DE2 …(6)
⇒ AB2 – BE2 = AD2 – DE2 …..(7) [समीकरण (5) एवं (6) से]
⇒ `"AB"^2 - ("AB"/2)^2 = "AD"^2 - ("AB"/6)^2`
⇒ `"AB"^2 - "AB"^2/4 = "AD"^2 - "AB"^2/36` [समीकरण (3), (4) एवं (7) से]
⇒ 36AB2 – 9AB2 = 36AD2 – AB2
⇒ 36AD2 = 36AB2 + AB2 – 9AB2 = 28AB2
⇒ 9AD2 = 7AB2
इति सिद्धम्
संबंधित प्रश्न
आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
AB2 = BC.BD
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है।
आकृति में ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि
- OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
- AF2 + OB2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 km/hr की चाल से उड़ता है। `1 1/2` घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?
किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है (देखिए आकृति) सिद्ध कीजिए कि 2AB2 = 2AC2 + BC2 है।
आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° हैं तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 – 2BC.BD है।
आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि
(i) AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AC2 + AB2 = 2AD2 + `1/2` BC2
भुजा 8 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब ज्ञात कीजिए।
किसी चतुर्भुज ABCD में, ∠A + ∠D = 90° है। सिद्ध कीजिए कि AC2 + BD2 = AD2 + BC2 है।
[संकेत : AB और DC को E पर मिलने के लिए बढ़ाइए]।
सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
