Advertisements
Advertisements
प्रश्न
किसी चतुर्भुज ABCD में, ∠A + ∠D = 90° है। सिद्ध कीजिए कि AC2 + BD2 = AD2 + BC2 है।
[संकेत : AB और DC को E पर मिलने के लिए बढ़ाइए]।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है: चतुर्भुज ABCD, जिसमें ∠A + ∠D = 90° है।
साबित करने के लिए: AC2 + BD2 = AD2 + BC2
रचना: AB और CD को E पर मिलने के लिए बढ़ाइए।
AC और BD को भी मिलाइए।
प्रमाण: ∆AED में, ∠A + ∠D = 90° ...[दिया गया है]
∴ ∠E = 180° – (∠A + ∠D) = 90° ...[∵ त्रिभुज के कोणों का योग = 180°]
फिर, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AD2 = AE2 + DE2
∆BEC में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
BC2 = BE2 + EC2
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।
AD2 + BC2 = AE2 + DE2 + BE2 + CE2 ...(i)
∆AEC में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AC2 = AE2 + CE2
और ∆BED में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
BD2 = BE2 + DE2
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।
AC2 + BD2 = AE2 + CE2 + BE2 + DE2 ...(ii)
समीकरण से (i) और (ii) से,
AC2 + BD2 = AD2 + BC2
अत: सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
50 cm, 80 cm, 100 cm
आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
AC2 = BC.DC
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB2 = 2AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
आकृति में ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि
- OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
- AF2 + OB2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
18 m ऊंचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूँटे से जुड़ा हुआ है। खंभे के आधार से खूँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लंबाई 24 m है।
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए: ∆ABC में, AB = `6sqrt3` cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm है। कोण B है: ______
आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° हैं तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 – 2BC.BD है।
आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि
(i) AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AC2 + AB2 = 2AD2 + `1/2` BC2
10 m लंबी एक सीढ़ी, जो एक उर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिकी हुई है, के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी 6 m है। दीवार पर उस बिंदु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जहाँ तक सीढ़ी का ऊपरी सिरा पहुँचता है।
एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेद बिंदु O है। O से होकर एक रेखाखंड PQ भुजा AB के समांतर खींचा गया है, जो AD को P और BC को Q पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि PO = QO है।
