Question

आकृति में l || m तथा रेखाखंड AB, CD और EF, बिंदु P पर संगामी हैं। सिद्ध कीजिए कि `(AE)/(BF) = (AC)/(BD) = (CE)/(FD)` हैं।

Answer 1

दिया हुआ, l || m और रेखाखंड AB, CD और EF बिंदु P पर समवर्ती हैं।

साबित करने के लिए: `("AE")/("BF") = ("AC")/("BD") = ("CE")/("FD")`

प्रमाण: ΔAPC और ΔBPD में,

 ∠APC = ∠BPD   ...[ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]

∠PAC = ∠PBD   ...[वैकल्पिक कोण]

∴ ΔAPC ∼ ΔBPD   ...[AA समानता मानदंड द्वारा]

फिर, `("AP")/("PB") = ("AC")/("BD") = ("PC")/("PD")`   ...(i)

ΔAPE और ΔBPF में,

∠APE = ∠BPF   ...[ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण]

∠PAE = ∠PBF   ...[वैकल्पिक कोण]

∴ ΔAPE ∼ ΔBPF   ...[AA समानता मानदंड द्वारा]

फिर, `("AP")/("PB") = ("AE")/("BF") = ("PE")/("PF")`   ...(ii)

ΔPEC और ΔPFD में,

∠EPC = ∠FPD   ...[ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण]

∠PCE = ∠PDF   ...[वैकल्पिक कोण]

∴ ΔPEC ∼ ΔPFD  ...[AA समानता मानदंड द्वारा]

फिर, `("PE")/("PF") = ("PC")/("PD") = ("EC")/("FD")`   ...(iii)

समीकरण (i), (ii) और (iii) से, 

`("AP")/("PB") = ("AC")/("BD") = ("AE")/("BF") = ("PE")/("PF") = ("EC")/("FD")`

∴ `("AE")/("BF") = ("AC")/("BD") = ("CE")/("FD")`

अतः सिद्ध हुआ।