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प्रश्न
आकृति में l || m तथा रेखाखंड AB, CD और EF, बिंदु P पर संगामी हैं। सिद्ध कीजिए कि `(AE)/(BF) = (AC)/(BD) = (CE)/(FD)` हैं।
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उत्तर
दिया हुआ, l || m और रेखाखंड AB, CD और EF बिंदु P पर समवर्ती हैं।
साबित करने के लिए: `("AE")/("BF") = ("AC")/("BD") = ("CE")/("FD")`
प्रमाण: ΔAPC और ΔBPD में,
∠APC = ∠BPD ...[ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]
∠PAC = ∠PBD ...[वैकल्पिक कोण]
∴ ΔAPC ∼ ΔBPD ...[AA समानता मानदंड द्वारा]
फिर, `("AP")/("PB") = ("AC")/("BD") = ("PC")/("PD")` ...(i)
ΔAPE और ΔBPF में,
∠APE = ∠BPF ...[ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण]
∠PAE = ∠PBF ...[वैकल्पिक कोण]
∴ ΔAPE ∼ ΔBPF ...[AA समानता मानदंड द्वारा]
फिर, `("AP")/("PB") = ("AE")/("BF") = ("PE")/("PF")` ...(ii)
ΔPEC और ΔPFD में,
∠EPC = ∠FPD ...[ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण]
∠PCE = ∠PDF ...[वैकल्पिक कोण]
∴ ΔPEC ∼ ΔPFD ...[AA समानता मानदंड द्वारा]
फिर, `("PE")/("PF") = ("PC")/("PD") = ("EC")/("FD")` ...(iii)
समीकरण (i), (ii) और (iii) से,
`("AP")/("PB") = ("AC")/("BD") = ("AE")/("BF") = ("PE")/("PF") = ("EC")/("FD")`
∴ `("AE")/("BF") = ("AC")/("BD") = ("CE")/("FD")`
अतः सिद्ध हुआ।
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