Question

 ∆PQR में, PR² – PQ² = QR² है तथा M भुजा PR पर एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि QM⊥ PR है। सिद्ध कीजिए कि QM² = PM × MR है।

Answer 1

प्रश्न के अनुसार,

∆PQR में,

PR² = QR² और QM ⊥ PR

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है,

PR² = PQ² + QR²

∆PQR, Q पर सही एंगल्ड त्रिभुज है।

∆QMR और ∆PMQ से, हमारे पास है,

∠M = ∠M

∠MQR = ∠QPM   ...[= 90° – ∠R]

इसलिए, AAA समानता मानदंड का उपयोग करना,

हमारे पास है,

∆QMR ∼ ∆PMQ

यह भी, हम जानते हैं कि,

त्रिकोणों का क्षेत्र = `1/2` × आधार × ऊँचाई

तो, समान त्रिकोणों के क्षेत्र की संपत्ति द्वारा,

⇒ `("ar(∆QMR)")/("Ar(PMQ)") = ("QM")^2/("PM")^2`

⇒ `("ar(∆QMR)")/("Ar(PMQ)") = (1/2 xx "RM" xx "QM")/(1/2 xx "PM" xx "QM")`

⇒ `("ar(∆QMR)")/("ar(PMQ)") = ("QM")^2/("PM")^2`

QM² = PM × RM

अतः सिद्ध हुआ।