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प्रश्न
∆PQR में, PR2 – PQ2 = QR2 है तथा M भुजा PR पर एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि QM⊥ PR है। सिद्ध कीजिए कि QM2 = PM × MR है।
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उत्तर
प्रश्न के अनुसार,
∆PQR में,
PR2 = QR2 और QM ⊥ PR
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है,
PR2 = PQ2 + QR2
∆PQR, Q पर सही एंगल्ड त्रिभुज है।
∆QMR और ∆PMQ से, हमारे पास है,
∠M = ∠M
∠MQR = ∠QPM ...[= 90° – ∠R]
इसलिए, AAA समानता मानदंड का उपयोग करना,
हमारे पास है,
∆QMR ∼ ∆PMQ
यह भी, हम जानते हैं कि,
त्रिकोणों का क्षेत्र = `1/2` × आधार × ऊँचाई
तो, समान त्रिकोणों के क्षेत्र की संपत्ति द्वारा,
⇒ `("ar(∆QMR)")/("Ar(PMQ)") = ("QM")^2/("PM")^2`
⇒ `("ar(∆QMR)")/("Ar(PMQ)") = (1/2 xx "RM" xx "QM")/(1/2 xx "PM" xx "QM")`
⇒ `("ar(∆QMR)")/("ar(PMQ)") = ("QM")^2/("PM")^2`
QM2 = PM × RM
अतः सिद्ध हुआ।
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