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प्रश्न
आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि `"BD"/"CD" = "AB"/"AC"` है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।
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उत्तर
दिया है: ∆ABC की भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार कि
`"BD"/"CD" = "AB"/"AC"` …(1)
रचना: AD को बढ़ाइए। CE || AD रेखा खींचिए जो AD को बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती है।
अब ∆ABD और ∆ECD में,
∠ABD = ∠ECD
[AB || CE एवं BD तिर्यक रेखा है।]
∠ADB = ∠EDC [शीर्षाभिमुख कोण है]
∆ABD ∼ ∆ECD [AA समरूपता]
`"BD"/"CD" = "AB"/"EC"` …(2)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
`"AB"/"AC" = "AB"/"EC"`
[समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ AC = EC
⇒ ∠CAD = ∠CED …(3) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
लेकिन ∠BAD = ∠CED …(4) [समरूप ∆ABD एवं ∆ECD के संगत कोण हैं।
∴ ∠BAD = ∠CAD [समीकरण (3) एवं (4) से]
अतः AD कोण BAC का समद्विभाजक है।
इति सिद्धम्
संबंधित प्रश्न
बताइए कि आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।
आकृति में, यदि ∆ABE ≅ ∆ACD है, तो दर्शाइए कि ∆ADE ~ ∆ABC है।
आकृति में, ΔABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि:
ΔPDC ∼ ΔBEC
आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆APC ∼ ∆DPB
(ii) AP.PB = CP.DP
आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆PAC ∼ ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD
समलंब PQRS के विकर्ण परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं, PQ || RS और PQ = 3 RS हैं। त्रिभुजों POQ और ROS के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
यदि ∆ABC ~ ∆DEF, AB = 4 cm, DE = 6 cm, EF = 9 cm और FD = 12 cm है, तो ∆ABC का परिमाप ज्ञात कीजिए।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 36 cm2 और 100 cm2 हैं। यदि बड़े त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई 20 cm है, तो उस भुजा के संगत छोटे त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
एक विशेष समय पर, 15 मीटर ऊँची एक मीनार (टॉवर) की छाया की लंबाई 24 मीटर है। उसी समय पर, एक टेलीफोन के खंभे की छाया की लंबाई 16 मीटर है। टेलीफोन के खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
यह दिया है कि ΔABC ~ ΔEDF इस प्रकार है कि AB = 5 cm, AC = 7 cm, DF = 15 cm और DE = 12 cm है। इन त्रिभुजों की शेष भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।
