Question

आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि

(i) ∆PAC ∼ ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD

 

Answer 1

∵ ∠PCA + ∠ACD = 180° …(1) रैखिक युग्म है।

∵ ∠ACD + ∠ABD = 180° ….(2) [चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण]

⇒ ∠PCA = ∠ABD [समीकरण (1) एवं (2) से]

⇒ ∠PCA = ∠PBD …(3) [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]

(i) अब APAC एवं APDB में,

∵ ∠PCA = ∠PBD [समीकरण (3) से]

∵ ∠APC = ∠BPD [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं।

⇒∆PAC ∼ ∆PDB ..........[AA समरूपता]

इति सिद्धम्

(ii) ∵ ∆PAC ∼ ∆PDB [भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]

⇒ `"PA"/"PD" = "PC"/"PB"` [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]

⇒ PA.PB = PC.PD.

इति सिद्धम्