Question

त्रिभुज PQR में, भुजा PR पर स्थित N एक ऐसा बिंदु है कि QN ⊥ PR है। यदि PN . NR = QN² है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQR = 90° है।  

Answer 1

दिया गया है, ∆PQR,

N, PR पर एक बिंदु है, इस प्रकार कि QN ⊥ PR

और PN . NR = QN²

सिद्ध करना है: ∠PQR = 90°

प्रमाण: हमारे पास है, PN . NR = QN²

⇒ PN . NR = QN . QN

⇒ `("PN")/("QN") = ("QN")/("NR")`  ...(i)

∆QNP और ∆RNQ में,

`("PN")/("QN") = ("QN")/("NR")`

और ∠PNQ = ∠RNQ  ...[प्रत्येक 90° के बराबर]

∴ ∆QNP ~ ∆RNQ   ...[SAS समानता मानदंड द्वारा]

फिर, ∆QNP और ∆RNQ समबाहु हैं।

अर्थात, ∠PQN = ∠QRN

⇒ ∠RQN = ∠QPN

दोनों पक्षों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

∠PQN + ∠RQN = ∠QRN + ∠QPN

⇒ ∠PQR = ∠QRN + ∠QPN   ...(ii)

हम जानते हैं कि, त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

In ∆PQR,

∠PQR + ∠QPR + ∠QRP = 180°

⇒ ∠PQR + ∠QPN + ∠QRN = 180°   ...[∵ ∠QPR = ∠QPN और ∠QRP = ∠QRN]

⇒ ∠PQR + ∠PQR = 180°  ...[समीकरण (ii) का प्रयोग]

⇒ 2∠PQR = 180°

⇒ ∠PQR = `180^circ/2` = 90°

∴ ∠PQR = 90°

अतः सिद्ध हुआ।