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प्रश्न
आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆PAC ∼ ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD
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उत्तर
∵ ∠PCA + ∠ACD = 180° …(1) रैखिक युग्म है।
∵ ∠ACD + ∠ABD = 180° ….(2) [चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण]
⇒ ∠PCA = ∠ABD [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∠PCA = ∠PBD …(3) [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
(i) अब APAC एवं APDB में,
∵ ∠PCA = ∠PBD [समीकरण (3) से]
∵ ∠APC = ∠BPD [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं।
⇒∆PAC ∼ ∆PDB ..........[AA समरूपता]
इति सिद्धम्
(ii) ∵ ∆PAC ∼ ∆PDB [भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
⇒ `"PA"/"PD" = "PC"/"PB"` [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ PA.PB = PC.PD.
इति सिद्धम्
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