Advertisements
Advertisements
प्रश्न
आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆PAC ∼ ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD
Advertisements
उत्तर
∵ ∠PCA + ∠ACD = 180° …(1) रैखिक युग्म है।
∵ ∠ACD + ∠ABD = 180° ….(2) [चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण]
⇒ ∠PCA = ∠ABD [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∠PCA = ∠PBD …(3) [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
(i) अब APAC एवं APDB में,
∵ ∠PCA = ∠PBD [समीकरण (3) से]
∵ ∠APC = ∠BPD [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं।
⇒∆PAC ∼ ∆PDB ..........[AA समरूपता]
इति सिद्धम्
(ii) ∵ ∆PAC ∼ ∆PDB [भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
⇒ `"PA"/"PD" = "PC"/"PB"` [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ PA.PB = PC.PD.
इति सिद्धम्
संबंधित प्रश्न
बताइए कि आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।
आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD ∼ ∆ECF है।
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA2 = CB.CD है।
AD और PM त्रिभुओं ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि ∆ABC ∼ ∆PQR है। सिद्ध कीजिए कि `("AB")/("PQ") = ("AD")/("PM")` है।
आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि `"BD"/"CD" = "AB"/"AC"` है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।
यदि दो त्रिभुजों ABC और PQR में, `(AB)/(QR) = (BC)/(PR) = (CA)/(PQ)` है, तो ______।
यदि त्रिभुज ABC और DEF में, `(AB)/(DE) = (BC)/(FD)` है, तो ये समरूप होंगे, जब ______।
APQR की भुजा QR पर कोई बिंदु D इस प्रकार है कि PD ⊥ QR है। क्या ΔPQD ~ ΔRPD कहना सही होगा? क्यो?
x का वह मान ज्ञात कीजिए. जिसके लिए आकृति में DE || AB हो।
समलंब PQRS के विकर्ण परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं, PQ || RS और PQ = 3 RS हैं। त्रिभुजों POQ और ROS के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
