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प्रश्न
आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि `"BD"/"CD" = "AB"/"AC"` है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।
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उत्तर
दिया है: ∆ABC की भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार कि
`"BD"/"CD" = "AB"/"AC"` …(1)
रचना: AD को बढ़ाइए। CE || AD रेखा खींचिए जो AD को बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती है।
अब ∆ABD और ∆ECD में,
∠ABD = ∠ECD
[AB || CE एवं BD तिर्यक रेखा है।]
∠ADB = ∠EDC [शीर्षाभिमुख कोण है]
∆ABD ∼ ∆ECD [AA समरूपता]
`"BD"/"CD" = "AB"/"EC"` …(2)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
`"AB"/"AC" = "AB"/"EC"`
[समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ AC = EC
⇒ ∠CAD = ∠CED …(3) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
लेकिन ∠BAD = ∠CED …(4) [समरूप ∆ABD एवं ∆ECD के संगत कोण हैं।
∴ ∠BAD = ∠CAD [समीकरण (3) एवं (4) से]
अतः AD कोण BAC का समद्विभाजक है।
इति सिद्धम्
संबंधित प्रश्न
बताइए कि आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।
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आकृति में, ΔABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि:
ΔABD ∼ ΔCBE
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ∆ABC ∼ ∆FEG है, तो दर्शाइए कि:
- `"CD"/"GH" = "AC"/"FG"`
- ∆DCB ∼ ∆HGE
- ∆DCA ∼ ∆HGF
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ∼ ∆PQR है।
आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆APC ∼ ∆DPB
(ii) AP.PB = CP.DP
x का वह मान ज्ञात कीजिए. जिसके लिए आकृति में DE || AB हो।
आकृति में, ABC एक त्रिभुज है जिसका ∠B समकोण है तथा BD ⊥ AC है। यदि AD = 4 cm, और CD = 5 cm है, तो BD और AB ज्ञात कीजिए।
आकृति में l || m तथा रेखाखंड AB, CD और EF, बिंदु P पर संगामी हैं। सिद्ध कीजिए कि `(AE)/(BF) = (AC)/(BD) = (CE)/(FD)` हैं।
