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प्रश्न
किसी चतुर्भुज ABCD में, ∠A + ∠D = 90° है। सिद्ध कीजिए कि AC2 + BD2 = AD2 + BC2 है।
[संकेत : AB और DC को E पर मिलने के लिए बढ़ाइए]।
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उत्तर
दिया गया है: चतुर्भुज ABCD, जिसमें ∠A + ∠D = 90° है।
साबित करने के लिए: AC2 + BD2 = AD2 + BC2
रचना: AB और CD को E पर मिलने के लिए बढ़ाइए।
AC और BD को भी मिलाइए।
प्रमाण: ∆AED में, ∠A + ∠D = 90° ...[दिया गया है]
∴ ∠E = 180° – (∠A + ∠D) = 90° ...[∵ त्रिभुज के कोणों का योग = 180°]
फिर, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AD2 = AE2 + DE2
∆BEC में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
BC2 = BE2 + EC2
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।
AD2 + BC2 = AE2 + DE2 + BE2 + CE2 ...(i)
∆AEC में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AC2 = AE2 + CE2
और ∆BED में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
BD2 = BE2 + DE2
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।
AC2 + BD2 = AE2 + CE2 + BE2 + DE2 ...(ii)
समीकरण से (i) और (ii) से,
AC2 + BD2 = AD2 + BC2
अत: सिद्ध हुआ।
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