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प्रश्न
शहर A से शहर B तक जाने के लिए एक मार्ग शहर C से होकर इस प्रकार जाता है कि AC ⊥ CB है, AC = 2x km और CB = 2(x + 7) km है। दोनों शहरों A और B को सीधा जोड़ने के लिए, एक 26 km लंबे राजमार्ग बनाने की एक योजना है। ज्ञात कीजिए कि राजमार्ग बन जाने के बाद, शहर A से शहर B तक जाने में कितनी दूरी कम चलनी पड़ेगी।
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उत्तर
प्रश्न के अनुसार,
AC ⊥ CB,
AC = 2x km,
CB = 2(x + 7) km
और AB = 26 km
इस प्रकार, हमें C पर समकोण ∆ACB प्राप्त होता है।
अब, ∆ACB से,
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,
AB2 = AC2 + BC2
⇒ (26)2 = (2x)2 + {2(x + 7)}2
⇒ 676 = 4x2 + 4(x2 + 196 + 14x)
⇒ 676 = 4x2 + 4x2 + 196 + 56x
⇒ 676 = 82 + 56x + 196
⇒ 8x2 + 56x – 480 = 0
समीकरण को 8 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है,
x2 + 7x – 60 = 0
x2 + 12x – 5x – 60 = 0
x(x + 12) – 5(x + 12) = 0
(x + 12)(x – 5) = 0
∴ x = –12 or x = 5
चूंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए हम x = –12 की उपेक्षा करते हैं।
∴ x = 5
अब,
AC = 2x = 10 km
BC = 2(x + 7)
= 2(5 + 7)
= 24 km
इस प्रकार, शहर A से शहर C के माध्यम से शहर B तक तय की गई दूरी = AC + BC
AC + BC = 10 + 24
= 34 km
राजमार्ग बनने के बाद शहर A से शहर B तक तय की गई दूरी = BA = 26 km
इसलिए, दूरी बचाई = 34 – 26 = 8 km.
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