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प्रश्न
किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
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उत्तर
मान लीजिए कि ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्षलम्ब AD है जो BC को समद्विभाजित करता है [समबाहु ∆ का शीर्ष लम्ब है]
BD = `1/2` BC = `1/2` AB …(1)
चूँकि समकोण त्रिभुज ΔADB में, ΔADB समकोण है
AB2 = AD2 + BD2 …(2) [पाइथागोरस प्रमेय से]
`"AB"^2 = "AD"^2 + ("AB"/2)^2` [समीकरण (1) एवं (2) से]
`"AB"^2 = "AD"^2 + "AB"^2/4`
4AB2 = 4AD2 + AB2
3AB2 = 4AD2
अतः किसी समबाहु त्रिभुज में उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
इति सिद्धम्
संबंधित प्रश्न
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
3 cm, 8 cm, 6 cm
आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
AC2 = BC.DC
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है।
आकृति में ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि
- OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
- AF2 + OB2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके पाद बिंदुओं के बीच की दूरी 12 m है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
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भुजा 8 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब ज्ञात कीजिए।
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सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
