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प्रश्न
किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
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उत्तर
मान लीजिए कि ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्षलम्ब AD है जो BC को समद्विभाजित करता है [समबाहु ∆ का शीर्ष लम्ब है]
BD = `1/2` BC = `1/2` AB …(1)
चूँकि समकोण त्रिभुज ΔADB में, ΔADB समकोण है
AB2 = AD2 + BD2 …(2) [पाइथागोरस प्रमेय से]
`"AB"^2 = "AD"^2 + ("AB"/2)^2` [समीकरण (1) एवं (2) से]
`"AB"^2 = "AD"^2 + "AB"^2/4`
4AB2 = 4AD2 + AB2
3AB2 = 4AD2
अतः किसी समबाहु त्रिभुज में उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
इति सिद्धम्
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सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
