Advertisements
Advertisements
Question
किसी चतुर्भुज ABCD में, ∠A + ∠D = 90° है। सिद्ध कीजिए कि AC2 + BD2 = AD2 + BC2 है।
[संकेत : AB और DC को E पर मिलने के लिए बढ़ाइए]।
Advertisements
Solution
दिया गया है: चतुर्भुज ABCD, जिसमें ∠A + ∠D = 90° है।
साबित करने के लिए: AC2 + BD2 = AD2 + BC2
रचना: AB और CD को E पर मिलने के लिए बढ़ाइए।
AC और BD को भी मिलाइए।
प्रमाण: ∆AED में, ∠A + ∠D = 90° ...[दिया गया है]
∴ ∠E = 180° – (∠A + ∠D) = 90° ...[∵ त्रिभुज के कोणों का योग = 180°]
फिर, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AD2 = AE2 + DE2
∆BEC में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
BC2 = BE2 + EC2
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।
AD2 + BC2 = AE2 + DE2 + BE2 + CE2 ...(i)
∆AEC में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AC2 = AE2 + CE2
और ∆BED में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
BD2 = BE2 + DE2
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।
AC2 + BD2 = AE2 + CE2 + BE2 + DE2 ...(ii)
समीकरण से (i) और (ii) से,
AC2 + BD2 = AD2 + BC2
अत: सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
AB2 = BC.BD
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है।
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
आकृति में ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि
- OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
- AF2 + OB2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके पाद बिंदुओं के बीच की दूरी 12 m है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि
(i) AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AC2 + AB2 = 2AD2 + `1/2` BC2
5 m लंबी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे इस प्रकार टिकी हुई है कि उसका ऊपरी सिरा दीवार पर 4 m ऊँचे बिंदु तक पहुँचता है। यदि सीढ़ी के निचले सिरे को दीवार की ओर 1.6 m खिसकाया जाए, तो वह दूरी ज्ञात कीजिए जो सीढ़ी का ऊपरी सिरा ऊपर की ओर दीवार पर सरक जाएगा।
18 m ऊँचे एक ध्वज स्तंभ की छाया की लंबाई 9.6 m है। इस स्तंभ के ऊपरी सिरे की छाया के दूरस्थ सिरे से दूरी ज्ञात कीजिए।
आकृति में PQR एक समकोण त्रिभुज है, जिसका ∠Q समकोण है तथा QS ⊥ PR है। यदि PQ = 6 cm और PS = 4 cm है, तो QS, RS और QR ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
