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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
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उत्तर
मान लीजिए ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं तथा उसके विकर्ण परस्पर एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं एवं समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँटते हैं।
अब समकोण त्रिभुज AOB में, ∠AOB = 90°
⇒ AB2 = AO2 + BO2 [पाइथागोरस प्रमेय से]
= `("AC"/2)^2 + ("BD"/2)^2`
[∵ AO = `1/2` AC एवं BO = `1/2` BD]
⇒ AB2 = `1/4`AC2 + `1/4`BD2
⇒ 4AB2 = AC2 + BD2
⇒ AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 [∵ AB = BC = CD = DA]
अतः एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्
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13 cm, 12 cm, 5 cm
आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
AB2 = BC.BD
आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
AC2 = BC.DC
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सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
