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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
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उत्तर
मान लीजिए ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं तथा उसके विकर्ण परस्पर एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं एवं समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँटते हैं।
अब समकोण त्रिभुज AOB में, ∠AOB = 90°
⇒ AB2 = AO2 + BO2 [पाइथागोरस प्रमेय से]
= `("AC"/2)^2 + ("BD"/2)^2`
[∵ AO = `1/2` AC एवं BO = `1/2` BD]
⇒ AB2 = `1/4`AC2 + `1/4`BD2
⇒ 4AB2 = AC2 + BD2
⇒ AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 [∵ AB = BC = CD = DA]
अतः एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्
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