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प्रश्न
आकृति में ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि
- OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
- AF2 + OB2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
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उत्तर
दिया है: ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु O तथा
OD ⊥ BC, OE ⊥ CA, OF ⊥ AB
रचना: OA, OB और OC को मिलाइए।
(i) ∵ पाइथागोरस प्रमेय से,
समकोण ∆OFA में,
OA2 – OF2 = AF2 …(1)
समकोण ∆ODB में,
OB2 – OD2 = BD2 ….(2)
एवं समकोण ∆OEC में,
OC2 – OE2 = CE2 …(3)
OA2 – OF2 + OB2 – OD2 + OC2 – OE2 = AF2 + BD2 + CE2
[समीकरण (1) + (2) + (3) से]
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2 …(4)
इति सिद्धम्
(ii) चूँकि पाइथागोरस प्रमेय से,
समकोण ∆OEA में,
OA2 – OE2 = AE2 ….(5)
समकोण ∆OFB में,
OB2 – OF2 = BF2 ….(6)
एवं समकोण ∆ODC में,
OC2 – OD2 = CD2 ….(7)
OA2 – OE2 + OB2 – OF2 + OC2 – OD2 = AE2 + BF2 + CD2
[समीकरण (5) + (6) + (7) से]
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AE2 + CD2 + BF2 …(8)
AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
[समीकरण (4) एवं (8) से]
इति सिद्धम्
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